知りたい!の源

京大卒の塾講師が感じた様々な事を書くブログ

割合なんて必要ない❗️

小学校では割合というものを習いますが、最近、割合という言葉は全く必要ないと思うようになりました。

結論からいうと、割合とは倍率の一つの形であり、結局のところ基準としている量のいくつ分あるか?を「数えている」に過ぎない、という事です。

そして、割合の理解は単に「数え方の拡張」で済んでしまうのです。

という事で、まずはふつうに数えることから始めます。

皆さんは、数を数えることが出来ますね。

犬や猫、コップや歯ブラシ、えんぴつや消しゴムなど、一つ一つ形があって、くっついて一つになったりしないものを数えるのは当然できると思います。

では、水の量を数えることが出来ますか?

最初の数え方の拡張は、まずここからです。

形がなく、くっつけて一つになったり、一つのものをバラバラに分けたりできる物の量を数える時、今までの数え方ではうまくいきません。

2つのコップに入った水を2つと数えると、厄介なことが起こります。2つあるはずの水をくっつけると2つではなく1つになってしまうのです。 また、大きなコップに入った水を1つと数えたとしても、小さなコップに入れなおすと2つ、3つと数が増えてしまいます。

これでは数えたことになりません。

そこで、数え方を広げることにします。

ある量を基準として決めてしまって、その量がいくつ分あるか?というふうに数えることにするのです。

水を数える時は、一つのコップを基準にして、そのコップ何杯分あるか?と考えるのです。

これで、水の様な、くっついたり分かれたりする物を数えることができるようになりました。

この考え方を使うと、ヒモやロープなどの長さも数えることができます。

ある長さを基準にして、それがいくつ分あるか?と数えるのです。

さて、これで数えられるものが増えましたが、同時に厄介な問題も発生する様になりました。

それが、「ちょうどじゃない」問題です。 水などの大きさが自在に変化できるものは、基準で測ろうとしても、最後は少し足りなかったり、余ったりするのです。

そこで、また数え方を広げます。 ちょうどにならない場合、基準を分けて小さくして数えることにするのです。

例えば、コップ1杯分より少なくて数えられないとします。仕方がないので、コップ満タンを4つに均等に分けた量を小さい基準にしてみます。すると、その基準3つ分になったとします。「基準を4つに分けた量の3つ分」なので、これをコップ「3/4個分」と数えることにします。

もしくは、コップ満タンを10個に均等割りした量の3個分をコップ「0.3個分」という感じに数えます。

これで、基準を決めて数えるとき、中途半端になってしまう量も数えられるようになりました。

※「基準を決めてそのかたまりを使って数える」という考え方は、実は算数だけでなく中学高校の数学や理科につながる理系思考の柱です。この考え方をしっかり使えるようになって下さい。

さて、基準を決めてそれを使って数える、という考え方は、形がない物にしか使えないのでしょうか?実は、形がある物にも使えます。

例えば、りんごを箱詰めする時などです。

りんごが5個入る箱に、リンゴを詰めていくとします。 今回の基準はりんご「5個」です。 今りんごが15個あるとしましょう。 何箱作れますか?

りんご5個を基準のかたまりとして、その基準のいくつ分あるか?を考える事になります。

答えは、箱3つ分ですね。

では、箱がなかったらどうでしょう?

リスはりんごを5個持っています。 クマはりんごを15個持っています。

クマのりんごの数は、リスのりんごの数のいくつ分ですか?

これもさっきと全く同じで、りんご5個をひとまとまり(基準)として、それがいくつ分あるか?と考えます。

クマのりんごの数は、リスのりんごの数の3つ分ですね。 この事を、クマのりんごの数はリスのりんごの数の3倍、といいます。

「〜倍」は、基準を決めてそれで数えています。

さて、箱の話に戻りますと、15個のりんごは5個のかたまり(基準)で数えると、3箱分だと言いましたが、15と5からどのような計算をして3を出してきたのでしょうか?

一つの考え方は、足し算です。 5個を2箱分、3箱分、と増やしていって3箱分で15個!と考えるわけです。

5を何度も足す事になりますが、同じ足し算を繰り返すのは、掛け算でまとめてできます。

また、引き算で行うこともできます。 15個から5個のかたまりを繰り返し引けるだけ引くと、何回引けるか?と考えるのです。

そして、「繰り返し引くと何回引けるか?」というのはまとめて行うことができます。そう、割り算です。

「基準のかたまりを決めてそれで数える」というのは、掛け算や割り算の考え方そのものです。

さて、さっきと同じような問題をまた考えてみましょう。 リスがりんごを5個持っています。 クマがりんごを17個持っています。 クマのりんごの数は、リスのりんごの数のいくつ分(何倍)ですか?

おっと、これは困りますね。 ちょうどじゃないですから。

でも、ちょっと待って下さい。ちょうどじゃない問題は、解決方法をさっき作りましたね?

さっき、水のようなものを数えるために基準を決めて数えました。もし丁度じゃなかったら、小さく分けた基準で数えて、その代わり3/4個分や0.3個分、などと書く事にしたんでした。

今回も、この方法を使いましょう。 クマのりんご17個は、リスのりんご5個のかたまり3つ分(3倍)と残り2個ですが、残り2個はどう数えましょうか?

5個のかたまりでは数えられないので基準のかたまりを小さくしましょう。 基準の5個のかたまりを5つに分けて基準を1個にしたら、りんご2個は小さい基準(1個)の2つ分ですね。基準を5つに分けた2つ分なので、2/5ですね。

ということは、クマのりんごはリスのりんごのかたまり3つ分とさらに2/5ある、と言えますね。

最初から基準を小さくしておく場合も考えておきます。

基準の5個を5つに分けて1個を小さい基準にします。1個を基準にして数えると17個は基準の17個分なので、クマのりんごはリスのりんごのかたまりを5つに分けた分の17個分、つまり17/5倍と言えますね。

("3と2/5"は17/5と同じ大きさです)

最後に、基準を決めてそのかたまりで数える、という時に現れる大事な要素を紹介しましょう。 それは、数の連動です。

りんごの箱詰めを考えます。 ここには3つの数字が出て来ます。

①箱一つに入れるりんごの数

②りんご全部の数

③箱の数

一箱にりんごを3個ずつ入れるとして、りんごが全部で12個あれば、箱の数は4つです。

①3個ずつ

②りんご12個

③箱4つ

もし、①箱に入れるりんごの数はそのままで、②りんごの数を2倍の24個に増やすと? ③箱の数も2倍の8つになります。

①3個ずつ(固定)

②りんご24個(2倍)

③箱8つ(2倍)

②りんごの数と③箱の数は連動し、りんごが2倍、3倍になれば、はこの数も2倍、3倍になります。 (このような連動を比例と言います)

もし、②りんごの数はそのままで①箱に入れるりんごの数を2倍の6にすると、③箱の数は2つになります。

①6個ずつ(2倍)

②りんご12個(固定)

③箱2つ(1/2倍)

①箱に入れるりんごの数と③箱の数は連動し、入れる数が2倍、3倍になれば、箱の数は1/2倍、1/3倍となります。 (このような連動を反比例といいます)

こういった数の連動は他にもたくさんあります。

例えば、蛇口をひねって水を出して、出てきた水をコップに入れて数えていきます。 10秒でコップ一杯分出て来ました。続けると、20秒でコップ2杯分、30秒でコップ3杯分。。。 秒と水の量は連動しています。

このように、比例型や反比例型の連動はいろいろな所に出てくるのですが、この数の連動のイメージは、「基準を決めてそのかたまりを使って数える」に慣れていれば、すでに当たり前になっています。

そして、この比例の理解こそが、中学高校の数学・理科の背骨なのです。